Парабола — Задание 12 ЕГЭ по математике №00042078

На рисунке две параболы. Формула одной дана, коэффициенты другой неизвестны, а точка $B$ на рисунок не попала. Значит, восстановим вторую параболу по точкам и найдём $B$ из уравнения $f(x)=g(x)$.

Масштаб: на осях подписаны $0$ и $1$, одна клетка — единица.

Сначала поймём, какая парабола — $f$. Нули $f(x)=x^{2}-x-2$: по формуле корней $x=\dfrac{1\pm3}{2}$, то есть $x=-1$ и $x=2$, а $f(0)=-2$. Именно так пересекает оси более широкая парабола. Значит, $g$ — узкая парабола.

Точки узкой параболы в узлах сетки: отмеченная точка $(0;\,3)$ на оси $y$, общая точка $A(1;\,-2)$ (проверка: $f(1)=1-1-2=-2$) и точка $(3;\,0)$, где узкая парабола пересекает ось $x$ правее $A$.

Подставим их в $g(x)=ax^{2}+bx+c$:

$$\begin{cases}c=3,\\ a+b+c=-2,\\ 9a+3b+c=0.\end{cases}$$

Из первых двух: $a+b=-5$. Из третьего: $9a+3b=-3$, то есть $3a+b=-1$. Вычтем: $2a=4$, $a=2$, тогда $b=-7$.

$$g(x)=2x^{2}-7x+3.$$

Сверимся с рисунком: второй нуль узкой параболы — $x=\dfrac{7-5}{4}=\dfrac{1}{2}$, и на рисунке она действительно пересекает ось $x$ между $0$ и $1$.

Приравниваем функции:

$$2x^{2}-7x+3=x^{2}-x-2\ \Rightarrow\ x^{2}-6x+5=0,\qquad D=36-20=16,\qquad x=\dfrac{6\pm4}{2}.$$

Корни $x_{1}=1$ — абсцисса $A$ — и $x_{2}=5$. Значит, абсцисса точки $B$ равна $5$.

Проверка подстановкой: $f(5)=25-5-2=18$ и $g(5)=50-35+3=18$ — точка $(5;\,18)$ общая, она выше края рисунка.