ID: 00028853
На рисунке изображены графики функций видов $f(x)=\dfrac{k}{x}$ и $g(x)=ax+b$, пересекающиеся в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.
Источник: ФИПИ
На рисунке две линии: гипербола $f(x)=\dfrac{k}{x}$ и прямая $g(x)=ax+b$. Чтобы найти их точки пересечения, надо сначала восстановить сами формулы — то есть числа $k$, $a$ и $b$. Их мы снимем с чертежа. А дальше приравняем функции и решим уравнение.
Сразу обратим внимание на важную вещь. Точка $A$ на рисунке подписана и хорошо видна, а вот вторая точка пересечения $B$ на картинке не показана: видимая часть чертежа доходит примерно до $x=4$, и там прямая с правой веткой гиперболы ещё не встретились. Значит, снять координату точки $B$ «по клеткам» нельзя в принципе. Рисунок нужен только для того, чтобы найти коэффициенты, а саму точку $B$ мы вычислим.
Точка $A$ стоит точно в узле клеток: $A(-2;-4)$. Она лежит на гиперболе, поэтому подставим её координаты в $f(x)=\dfrac{k}{x}$: получаем $-4=\dfrac{k}{-2}$, откуда
$$k=(-2)\cdot(-4)=8,\qquad f(x)=\dfrac{8}{x}.$$
Теперь прямая. На ней отмечена ещё одна точка — $(0;-3)$, то есть место, где прямая пересекает ось $Oy$. Свободный член $b$ как раз и равен значению прямой при $x=0$, поэтому $b=-3$.
Коэффициент $a$ — это наклон прямой, отношение изменения $y$ к изменению $x$ между двумя её известными точками $(-2;-4)$ и $(0;-3)$:
$$a=\dfrac{-3-(-4)}{0-(-2)}=\dfrac{1}{2}=0{,}5,\qquad g(x)=0{,}5x-3.$$
Точки пересечения — это те значения $x$, при которых обе функции дают одно и то же число. Приравниваем их:
$$\dfrac{8}{x}=0{,}5x-3.$$
Точка $x=0$ нам заведомо не подходит (на ноль делить нельзя), поэтому обе части можно смело умножить на $x$:
$$8=0{,}5x^{2}-3x.$$
Перенесём всё в одну сторону и умножим обе части на $2$, чтобы избавиться от дробного коэффициента:
$$0{,}5x^{2}-3x-8=0\ \Rightarrow\ x^{2}-6x-16=0.$$
Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D=(-6)^{2}-4\cdot 1\cdot(-16)=36+64=100$, и $\sqrt{100}=10$.
$$x_{1}=\dfrac{6-10}{2}=-2,\qquad x_{2}=\dfrac{6+10}{2}=8.$$
Первый корень $-2$ — это уже знакомая нам абсцисса точки $A$. Значит, второй корень и есть абсцисса точки $B$: она равна $8$.
Проверим себя: подставим $x=8$ в обе функции. Гипербола даёт $\dfrac{8}{8}=1$, прямая даёт $0{,}5\cdot 8-3=4-3=1$ — значения совпали, точка пересечения найдена верно. И заодно понятно, почему её не видно на чертеже: она лежит правее нарисованного куска плоскости.