На рисунке изображены графики функций видов f левая круглая скобка x правая круглая скобка равно дробь: числитель: k, знаменатель: x конец дроби и g левая круглая скобка x правая круглая скобка равно ax плюс b , пересекающиеся в точках A и B . Найдите абсциссу точки B .

Задание 11 ЕГЭ по математике: На рисунке изображены графики функций видов f левая круглая…

№2. Задание 11

ID: 00028853

На рисунке изображены графики функций видов $f(x)=\dfrac{k}{x}$ и $g(x)=ax+b$ , пересекающиеся в точках $A$ и $B$ . Найдите абсциссу точки $B$ .

Источник: ФИПИ

Решение

На рисунке две линии: гипербола $f(x)=\dfrac{k}{x}$ и прямая $g(x)=ax+b$ . Чтобы найти их точки пересечения, надо сначала восстановить сами формулы — то есть числа $k$ , $a$ и $b$ . Их мы снимем с чертежа. А дальше приравняем функции и решим уравнение.

Сразу обратим внимание на важную вещь. Точка $A$ на рисунке подписана и хорошо видна, а вот вторая точка пересечения $B$ на картинке не показана: видимая часть чертежа доходит примерно до $x=4$ , и там прямая с правой веткой гиперболы ещё не встретились. Значит, снять координату точки $B$ «по клеткам» нельзя в принципе. Рисунок нужен только для того, чтобы найти коэффициенты, а саму точку $B$ мы вычислим.

Точка $A$ стоит точно в узле клеток: $A(-2;-4)$ . Она лежит на гиперболе, поэтому подставим её координаты в $f(x)=\dfrac{k}{x}$ : получаем $-4=\dfrac{k}{-2}$ , откуда

$k=(-2)\cdot(-4)=8,\qquad f(x)=\dfrac{8}{x}.$

Теперь прямая. На ней отмечена ещё одна точка — $(0;-3)$ , то есть место, где прямая пересекает ось $Oy$ . Свободный член $b$ как раз и равен значению прямой при $x=0$ , поэтому $b=-3$ .

Коэффициент $a$ — это наклон прямой, отношение изменения $y$ к изменению $x$ между двумя её известными точками $(-2;-4)$ и $(0;-3)$ :

$a=\dfrac{-3-(-4)}{0-(-2)}=\dfrac{1}{2}=0{,}5,\qquad g(x)=0{,}5x-3.$

Точки пересечения — это те значения $x$ , при которых обе функции дают одно и то же число. Приравниваем их:

$\dfrac{8}{x}=0{,}5x-3.$

Точка $x=0$ нам заведомо не подходит (на ноль делить нельзя), поэтому обе части можно смело умножить на $x$ :

$8=0{,}5x^{2}-3x.$

Перенесём всё в одну сторону и умножим обе части на $2$ , чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$0{,}5x^{2}-3x-8=0\ \Rightarrow\ x^{2}-6x-16=0.$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D=(-6)^{2}-4\cdot 1\cdot(-16)=36+64=100$ , и $\sqrt{100}=10$ .

$x_{1}=\dfrac{6-10}{2}=-2,\qquad x_{2}=\dfrac{6+10}{2}=8.$

Первый корень $-2$ — это уже знакомая нам абсцисса точки $A$ . Значит, второй корень и есть абсцисса точки $B$ : она равна $8$ .

Проверим себя: подставим $x=8$ в обе функции. Гипербола даёт $\dfrac{8}{8}=1$ , прямая даёт $0{,}5\cdot 8-3=4-3=1$ — значения совпали, точка пересечения найдена верно. И заодно понятно, почему её не видно на чертеже: она лежит правее нарисованного куска плоскости.

Ответ