Задание 11 ЕГЭ по математике №00042044

Длина пути не дана, поэтому обозначим её $2S$ км — тогда каждая половина равна $S$ км. Пусть скорость первого $v$ км/ч; на первой половине второй едет со скоростью $v-12$ км/ч, на второй — $70$ км/ч.

Они приехали одновременно, значит, время первого на весь путь равно сумме времён второго на двух половинах:

$$\dfrac{2S}{v}=\dfrac{S}{v-12}+\dfrac{S}{70}.$$

Делим обе части на $S$ (путь не равен нулю) — остаются только скорости:

$$\dfrac{2}{v}=\dfrac{1}{v-12}+\dfrac{1}{70}.$$

Умножаем обе части на $70v(v-12)$:

$$140(v-12)=70v+v(v-12).$$

Раскрываем скобки: $140v-1680=70v+v^{2}-12v$. Переносим всё вправо:

$$v^{2}-82v+1680=0,\qquad D=82^{2}-4\cdot1680=6724-6720=4=2^{2}.$$

Корни: $v=\dfrac{82+2}{2}=42$ и $v=\dfrac{82-2}{2}=40$. Оба положительны, и в обоих случаях $v-12\gt 0$, так что по смыслу годятся оба. Выбирает условие: скорость первого меньше $41$ км/ч. Значит, $v=40$ км/ч.

Проверка: при $v=40$ второй едет первую половину со скоростью $28$ км/ч. Его время на единицу длины половины: $\dfrac{1}{28}+\dfrac{1}{70}=\dfrac{5+2}{140}=\dfrac{1}{20}$, а у первого $\dfrac{2}{40}=\dfrac{1}{20}$. Совпало.