Global EE

Логарифмичес… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00041752

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Логарифмические уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00041752

Водолазный колокол, содержащий $\nu =8$ моль воздуха при давлении $p_{1} =20$ атмосфер, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_{2}$ (в атмосферах). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha\nu T\log_{2} \dfrac{p_{2}}{p_{1}}$, где $\alpha=5{,}8\dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{K}}$ — постоянная, $T=300\ \text{K}$ — температура воздуха. Найдите давление $p_{2}$ воздуха в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 27 840 Дж. Ответ дайте в атмосферах.

Источник: ФИПИ

Решение

Подставим в формулу $A=\alpha\nu T\log_{2}\dfrac{p_{2}}{p_{1}}$ значения $\alpha=5{,}8$, $\nu=8$, $T=300$, $p_{1}=20$ и $A=27\,840$.

Множитель перед логарифмом:

$$\alpha\nu T=5{,}8\cdot8\cdot300=46{,}4\cdot300=13\,920.$$

Разделим работу на него:

$$\log_{2}\dfrac{p_{2}}{20}=\dfrac{27\,840}{13\,920}=2.$$

По определению логарифма:

$$\dfrac{p_{2}}{20}=2^{2}=4\;\Rightarrow\;p_{2}=80\ \text{атм}.$$

Проверка: $13\,920\cdot\log_{2}\dfrac{80}{20}=13\,920\cdot\log_{2}4=13\,920\cdot2=27\,840$ Дж. Верно. По смыслу давление при сжатии выросло.

Ответ

80
Другие задания по теме «Логарифмические уравнения и неравенства» (8)