Global EE

Логарифмичес… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00041755

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Логарифмические уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00041755

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C=8\cdot 10^{-6}\ \text{Ф}$. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R=5\cdot 10^{6}\ \text{Ом}$. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_{0} =56\ \text{кВ}$. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (в киловольтах) за время (в секундах), определяемое выражением $t=\alpha RC\log_{2} \dfrac{U_{0}}{U}$, где $\alpha=1{,}5$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 180 секунд. Ответ дайте в киловольтах.

Источник: ФИПИ

Решение

Подставим в формулу $t=\alpha RC\log_{2}\dfrac{U_{0}}{U}$ значения $\alpha=1{,}5$, $R=5\cdot10^{6}$, $C=8\cdot10^{-6}$, $U_{0}=56$ и $t=180$.

Посчитаем множитель $\alpha RC$. При умножении степени десяти складываем показатели: $10^{6}\cdot10^{-6}=10^{0}=1$.

$$\alpha RC=1{,}5\cdot5\cdot8\cdot10^{6}\cdot10^{-6}=1{,}5\cdot40=60.$$

Разделим время на этот множитель:

$$\log_{2}\dfrac{56}{U}=\dfrac{180}{60}=3.$$

По определению логарифма $\dfrac{56}{U}=2^{3}=8$, откуда

$$U=\dfrac{56}{8}=7\ \text{кВ}.$$

Проверка: $60\cdot\log_{2}\dfrac{56}{7}=60\cdot\log_{2}8=60\cdot3=180$ с. Верно. По смыслу напряжение после выключения уменьшилось.

Ответ

7
Другие задания по теме «Логарифмические уравнения и неравенства» (8)