Global EE

Логарифмичес… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00042028

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Логарифмические уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00042028

Водолазный колокол, содержащий $\nu=5$ молей воздуха при давлении $p_1=1{,}4$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A=\alpha\nu T\log_2\dfrac{p_2}{p_1}$, где $\alpha=8{,}5\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}$ — постоянная, $T=300$ К — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в $25\,500$ Дж.

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Работа выражается через логарифм отношения давлений: $A=\alpha\nu T\log_2\dfrac{p_2}{p_1}$. Сначала посчитаем множитель перед логарифмом:

$$\alpha\nu T=8{,}5\cdot5\cdot300=42{,}5\cdot300=12\,750.$$

Подставим работу $25\,500$ Дж:

$$12\,750\cdot\log_2\dfrac{p_2}{1{,}4}=25\,500.$$

Разделим обе части на $12\,750$:

$$\log_2\dfrac{p_2}{1{,}4}=\dfrac{25\,500}{12\,750}=2.$$

По определению логарифма: $\log_2 X=2$ означает, что $X=2^2=4$. Значит,

$$\dfrac{p_2}{1{,}4}=4\ \Rightarrow\ p_2=4\cdot1{,}4=5{,}6\ \text{атм}.$$

Проверка: $\log_2\dfrac{5{,}6}{1{,}4}=\log_2 4=2$, и $12\,750\cdot2=25\,500$ Дж. Верно. И по смыслу всё сходится: воздух сжимали, поэтому конечное давление $5{,}6$ атм больше начального $1{,}4$ атм.

Ответ

5,6
Другие задания по теме «Логарифмические уравнения и неравенства» (8)