Global EE

Логарифмичес… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00041747

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Логарифмические уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00041747

Водолазный колокол, содержащий $\nu =3$ моль воздуха объёмом $V_{1} =80\ \text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_{2}$ (в л). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha\nu T\log_{2} \dfrac{V_{1}}{V_{2}}$, где $\alpha=5{,}8\dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}$ — постоянная, $T=300\ \text{К}$ — температура воздуха. Найдите, какой объём $V_{2}$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 20 880 Дж. Ответ дайте в литрах.

Источник: ФИПИ

Решение

Подставим в формулу $A=\alpha\nu T\log_{2}\dfrac{V_{1}}{V_{2}}$ известные величины: $\alpha=5{,}8$, $\nu=3$, $T=300$, $V_{1}=80$ и $A=20\,880$.

Сначала посчитаем множитель перед логарифмом:

$$\alpha\nu T=5{,}8\cdot3\cdot300=5{,}8\cdot900=5220.$$

Разделим работу на этот множитель, чтобы остался один логарифм:

$$\log_{2}\dfrac{80}{V_{2}}=\dfrac{20\,880}{5220}=4.$$

По определению логарифма отношение объёмов равно $2^{4}=16$:

$$\dfrac{80}{V_{2}}=16\;\Rightarrow\;V_{2}=\dfrac{80}{16}=5\ \text{л}.$$

Проверка: $5220\cdot\log_{2}\dfrac{80}{5}=5220\cdot\log_{2}16=5220\cdot4=20\,880$ Дж. Верно. И по смыслу: воздух сжали, объём стал меньше начальных $80$ л.

Ответ

5
Другие задания по теме «Логарифмические уравнения и неравенства» (8)