Квадратные… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00042038

Мяч находится на высоте не менее $4$ м, когда $h(t)\ge4$:

$$2+11t-5t^2\ge4.$$

Перенесём всё в правую часть, чтобы коэффициент при $t^2$ был положительным:

$$5t^2-11t+2\le0.$$

Найдём корни уравнения $5t^2-11t+2=0$. Дискриминант:

$$D=11^2-4\cdot5\cdot2=121-40=81=9^2.$$

$$t_1=\dfrac{11-9}{10}=0{,}2,\qquad t_2=\dfrac{11+9}{10}=2.$$

Ветви параболы $y=5t^2-11t+2$ направлены вверх, поэтому она не выше нуля между корнями: $0{,}2\le t\le2$. В это время мяч на высоте не менее $4$ м: в момент $0{,}2$ с он проходит эту высоту на подъёме, в момент $2$ с — на спуске.

Длительность промежутка:

$$2-0{,}2=1{,}8\ \text{с}.$$

Проверка подстановкой: $h(0{,}2)=2+2{,}2-0{,}2=4$ и $h(2)=2+22-20=4$ — оба момента дают ровно $4$ м. Ещё один способ: расстояние между корнями квадратного трёхчлена равно $\dfrac{\sqrt D}{|a|}=\dfrac95=1{,}8$. Совпало.