Global EE

Квадратные… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00041720

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Квадратные и степенные уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00041720

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол поворота катушки, на который наматывается кабель, изменяется со временем по закону $\varphi=\omega t+\dfrac{\beta t^{2}}{2}$, где $t$ — время (в минутах) от начала работы лебёдки, $\omega=30^{\circ}/\text{мин}$ — начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta=3^{\circ}/\text{мин}^{2}$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки $\varphi$ достигнет $1200^{\circ}$. Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ дайте в минутах.

Источник: СтатГрад

Решение

Подставим в закон $\varphi=\omega t+\dfrac{\beta t^{2}}{2}$ значения $\omega=30$ и $\beta=3$ и приравняем угол к $1200^{\circ}$ — так найдём момент, когда намотка достигнет предельного угла.

$$30t+\dfrac{3t^{2}}{2}=1200.$$

Умножим обе части на $2$, чтобы избавиться от дроби:

$$3t^{2}+60t-2400=0.$$

Все коэффициенты делятся на $3$:

$$t^{2}+20t-800=0.$$

Дискриминант:

$$D=20^{2}+4\cdot800=400+3200=3600=60^{2}.$$

Корни: $t=\dfrac{-20+60}{2}=20$ и $t=\dfrac{-20-60}{2}=-40$. Время после начала работы не может быть отрицательным, поэтому $t=20$ мин.

Угол со временем только растёт, значит, до $20$-й минуты он меньше $1200^{\circ}$, а позже — больше. Проверить намотку нужно не позже $20$ минут.

Проверка: $30\cdot20+\dfrac{3\cdot20^{2}}{2}=600+600=1200$. Верно.

Ответ

20
Другие задания по теме «Квадратные и степенные уравнения и неравенства» (8)