Тригонометри… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00042026

Время в пути зависит от угла через котангенс: $t=\dfrac{L}{u}\operatorname{ctg}\alpha$. Сначала найдём числовой множитель перед котангенсом:

$$\dfrac{L}{u}=\dfrac{117}{1{,}3}=\dfrac{1170}{13}=90.$$

Значит, $t=90\operatorname{ctg}\alpha$. Время должно быть не больше $90$ с:

$$90\operatorname{ctg}\alpha\le90.$$

Разделим обе части на положительное число $90$ — знак неравенства сохранится:

$$\operatorname{ctg}\alpha\le1.$$

Угол $\alpha$ острый, то есть $0^\circ\lt\alpha\lt90^\circ$. На этом промежутке котангенс убывает: чем больше угол, тем меньше котангенс. Котангенс равен $1$ при $\alpha=45^\circ$, поэтому $\operatorname{ctg}\alpha\le1$ выполняется при $45^\circ\le\alpha\lt90^\circ$.

Наименьший угол из этого промежутка — $45^\circ$.

Проверка: при $\alpha=45^\circ$ время $t=90\cdot1=90$ с — ровно допустимое. При угле чуть меньше, например $40^\circ$, $\operatorname{ctg}40^\circ\approx1{,}19$ и $t\approx107$ с — уже больше $90$ с. Значит, меньше $45^\circ$ брать нельзя.