Тригонометри… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00042027

Запишем требование задачи неравенством: время $t=\dfrac{L}{u}\operatorname{ctg}\alpha$ не больше $94$ с.

$$\dfrac{141}{1{,}5}\operatorname{ctg}\alpha\le94.$$

Посчитаем дробь: $\dfrac{141}{1{,}5}=\dfrac{1410}{15}=94$. Получаем

$$94\operatorname{ctg}\alpha\le94\ \Rightarrow\ \operatorname{ctg}\alpha\le1.$$

Угол острый: $0^\circ\lt\alpha\lt90^\circ$. Котангенс на этом промежутке убывает от очень больших значений до нуля. Значение $1$ он принимает при $\alpha=45^\circ$, а меньшие значения — при больших углах. Значит, неравенство выполняется при $45^\circ\le\alpha\lt90^\circ$.

Наименьший подходящий угол — $45^\circ$.

Проверим через тангенс другим способом: $\operatorname{ctg}\alpha=\dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$, и для острого угла $\operatorname{ctg}\alpha\le1$ равносильно $\operatorname{tg}\alpha\ge1$. Тангенс на $(0^\circ;90^\circ)$ возрастает и равен $1$ при $45^\circ$ — тот же промежуток $\alpha\ge45^\circ$.

Подстановка: $t(45^\circ)=94\cdot1=94$ с — допустимо; при $30^\circ$ получилось бы $94\sqrt3\approx163$ с — слишком долго.