Global EE

Рациональные… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00042035

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Рациональные уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00042035

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности $In$, оперативности $Op$, объективности $Tr$ публикаций, а также качества $Q$ сайта. Каждый отдельный показатель — целое число от $0$ до $4$.

Составители рейтинга считают, что объективность ценится вчетверо, а информативность публикаций — впятеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид

$$R=\dfrac{5In+Op+4Tr+Q}{A}.$$

Если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число $A$, при котором это условие будет выполняться.

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Условие должно выполняться для любой одинаковой оценки. Возьмём конкретный случай: все четыре показателя равны $4$. Тогда и рейтинг обязан быть равен $4$.

Подставим:

$$\dfrac{5\cdot4+4+4\cdot4+4}{A}=4.$$

Числитель: $20+4+16+4=44$. Получаем

$$\dfrac{44}{A}=4\ \Rightarrow\ A=\dfrac{44}{4}=11.$$

Теперь проверим, что найденное $A$ подходит и для любой другой одинаковой оценки $k$:

$$\dfrac{5k+k+4k+k}{11}=\dfrac{11k}{11}=k.$$

Равенство верно при каждом $k$ — значит, $A=11$ подходит. Например, при $k=2$: $\dfrac{10+2+8+2}{11}=\dfrac{22}{11}=2$.

Заметим, что $A=5+1+4+1$ — сумма всех весов: рейтинг устроен как взвешенное среднее оценок.

Ответ

11
Другие задания по теме «Рациональные уравнения и неравенства» (8)