Global EE

Рациональные… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00042034

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Рациональные уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00042034

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности $In$, оперативности $Op$, объективности $Tr$ публикаций, а также качества $Q$ сайта. Каждый отдельный показатель — целое число от $-2$ до $2$.

Составители рейтинга считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — впятеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид

$$R=\dfrac{5In+Op+3Tr+Q}{A}.$$

Если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число $A$, при котором это условие будет выполняться.

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Пусть издание получило по всем четырём показателям одну и ту же оценку $k$, то есть $In=Op=Tr=Q=k$. Тогда рейтинг должен быть равен тоже $k$.

Подставим $k$ вместо каждого показателя:

$$R=\dfrac{5k+k+3k+k}{A}=\dfrac{10k}{A}.$$

Требование задачи: $R=k$, то есть

$$\dfrac{10k}{A}=k.$$

При $k=0$ это равенство верно при любом $A$ (обе части равны нулю), поэтому оно ничего не говорит про $A$. Возьмём любую ненулевую оценку, например $k=1$:

$$\dfrac{10}{A}=1\ \Rightarrow\ A=10.$$

Убедимся, что при $A=10$ условие выполняется для всех оценок: $\dfrac{10k}{10}=k$ при любом $k$. Например, при $k=-2$: $\dfrac{5\cdot(-2)+(-2)+3\cdot(-2)+(-2)}{10}=\dfrac{-20}{10}=-2$. Верно.

Заметим смысл: $A$ равно сумме всех весов $5+1+3+1$ — тогда рейтинг становится «взвешенным средним» оценок, и одинаковые оценки дают ту же оценку.

Ответ

10
Другие задания по теме «Рациональные уравнения и неравенства» (8)