На рисунке изображён график функции y равно f левая круглая скобка x правая круглая скобка. На оси абсцисс отмечено двенадцать точек: x индекс 1, x индекс 2, x индекс 3, x индекс 4, x индекс 5, x индекс 6, x индекс 7, x индекс 8, x индекс 9, x индекс 10, x индекс 11, x индекс 12. В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка неположительна.

Применение… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00042006

Задание №9. Производная и первообразная

Применение производной к исследованию функций

№2. Задание 9

ID: 00042006

На рисунке изображён график функции $$y=f(x)$$ . На оси абсцисс отмечено двенадцать точек: $$x_1$$ , $$x_2$$ , $$x_3$$ , $$x_4$$ , $$x_5$$ , $$x_6$$ , $$x_7$$ , $$x_8$$ , $$x_9$$ , $x_{10}$ , $x_{11}$ , $x_{12}$ . В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции $$f(x)$$ неположительна.

Рисунок к заданию 9 ЕГЭ по математике — Применение производной к исследованию функций

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Производная функции неположительна ( $f'(x)\le0$ ) там, где функция убывает, а также в точках, где касательная к графику горизонтальна (вершины и впадины). Если график при движении слева направо идёт вверх, производная положительна.

Найдём на рисунке участки, где график опускается. Таких участков с отмеченными точками один — от вершины правее оси $$Oy$$ до самой нижней впадины.

На этом спуске лежат точки $$x_5$$ , $$x_6$$ , $$x_7$$ и $$x_8$$ . Точка $$x_8$$ стоит чуть левее впадины — график там ещё опускается, поэтому $f'(x_8)\lt0$ .

Остальные точки — на подъёмах: $$x_1$$ и $$x_2$$ (левее и правее маленькой волны, обе на подъёме), $$x_3$$ (чуть левее горба), $$x_4$$ (чуть левее вершины), $$x_9$$ , $x_{10}$ , $x_{11}$ (правее впадины, график растёт) и $x_{12}$ (чуть левее самой высокой точки). Там $f'(x)\gt0$ .

Ровно в вершинах и впадинах отмеченных точек нет. Значит, точек с $f'(x)\le0$ :

$$$4.$$$

Проверка: $$8$$ точек на подъёмах и $$4$$ на спуске — всего $$12$$ , все отмеченные точки учтены.

Ответ

Другие задания по теме «Применение производной к исследованию функций» (8)