Применение… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00042004

В точке экстремума функция перестаёт расти и начинает убывать (максимум) или наоборот (минимум). Рост означает положительную производную, убывание — отрицательную. Поэтому экстремумы $f(x)$ — это точки, где $f'(x)$ меняет знак: график производной пересекает ось $Ox$.

Посмотрим на рисунок (одна клетка — единица). График $y=f'(x)$ пересекает ось абсцисс в точках $x=3$, $x=6$, $x=8$, $x=11$ и $x=15$.

Около $x=-1$ и около $x=13$ у графика производной есть впадины, но обе лежат выше оси $Ox$ (значения примерно $1{,}7$ и $1{,}2$). Производная там остаётся положительной, знак не меняется — экстремумов у $f(x)$ там нет.

Оставляем точки внутри интервала $(-1;\,13)$: это $3,\;6,\;8,\;11$. Точка $15$ правее $13$ и не считается.

Количество точек экстремума:

$$4.$$

Проверка: на $(-1;\,3)$ производная положительна — $f(x)$ растёт, в $x=3$ максимум; дальше минимум в $x=6$, максимум в $x=8$, минимум в $x=11$, а на $(11;\,13)$ функция снова растёт. Максимумы и минимумы чередуются, как и должно быть.