Применение… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00042003

Точка экстремума — это место, где функция меняет направление: рост сменяется убыванием (максимум) или убывание — ростом (минимум).

Функция растёт там, где её производная положительна, и убывает там, где производная отрицательна. Значит, экстремум у $f(x)$ стоит там, где производная меняет знак, то есть где график $y=f'(x)$ пересекает ось $Ox$.

Найдём по рисунку (одна клетка — единица) точки пересечения графика производной с осью абсцисс: $x=-2$, $x=2$, $x=5$, $x=8$, $x=11$ и $x=13$. В каждой из них кривая переходит с одной стороны оси на другую, поэтому знак действительно меняется.

Нас интересует только интервал $(-3;\,12)$. В него попадают точки $-2,\;2,\;5,\;8,\;11$. Точка $13$ лежит правее $12$ и в счёт не идёт.

Вершины самого графика производной, например $(-3;\,3)$ или $(0;\,-3)$, — не экстремумы $f(x)$: производная там не равна нулю, функция просто растёт или убывает быстрее всего.

Количество точек экстремума на интервале $(-3;\,12)$:

$$5.$$

Проверка: знаки производной на участках интервала чередуются — плюс на $(-3;\,-2)$, минус на $(-2;\,2)$, плюс на $(2;\,5)$, минус на $(5;\,8)$, плюс на $(8;\,11)$, минус на $(11;\,12)$. Шесть участков дают пять смен знака.