Логарифмическ… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00041977

По определению логарифма запись $\log_{27}3^{2x+3}=2$ означает: $27$ во второй степени равно выражению под логарифмом.

$$3^{2x+3}=27^{2}.$$

Запишем $27$ как степень тройки: $27=3\cdot3\cdot3=3^{3}$. При возведении степени в степень показатели перемножаются:

$$27^{2}=\left(3^{3}\right)^{2}=3^{3\cdot2}=3^{6}.$$

Основания одинаковые — приравниваем показатели:

$$3^{2x+3}=3^{6}\;\Rightarrow\;2x+3=6.$$

Отсюда $2x=6-3=3$, $x=\dfrac32=1{,}5$.

Проверим другим способом — через свойство логарифма степени: $\log_{27}3^{2x+3}=(2x+3)\cdot\log_{27}3=\dfrac{2x+3}{3}$, потому что $27^{\frac13}=3$. При $x=1{,}5$ получаем $\dfrac{3+3}{3}=2$ — верно.