Логарифмическ… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00041975

Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице: $x-4\gt0$, то есть $x\gt4$, и $x-4\ne1$.

По определению логарифма $\log_{x-4}36=2$ означает: основание в квадрате равно $36$.

$$(x-4)^{2}=36.$$

Первый способ. Квадрат равен $36$ у чисел $6$ и $-6$: $x-4=6$ или $x-4=-6$, то есть $x=10$ или $x=-2$.

Второй способ — раскрыть скобки: $x^{2}-8x+16=36$, то есть $x^{2}-8x-20=0$. Дискриминант $D=64+80=144$, $x=\dfrac{8\pm12}{2}$, откуда $x=10$ или $x=-2$ — то же самое.

Значение $x=-2$ не удовлетворяет условию $x\gt4$: основание было бы равно $-6$. Остаётся $x=10$, основание $10-4=6$ подходит.

Корень один, поэтому в ответ идёт $10$.

Проверка: $\log_{6}36=2$, так как $6^{2}=36$ — верно.