Логарифмическ… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00041969

Запишем двойку справа тоже логарифмом по основанию $x-1$: $2=\log_{x-1}(x-1)^{2}$. Тогда уравнение выглядит так:

$$\log_{x-1}25=\log_{x-1}(x-1)^{2}.$$

Логарифмы с одинаковым основанием равны, когда равны выражения под ними:

$$(x-1)^{2}=25.$$

Ограничения для основания логарифма: $x-1\gt0$ и $x-1\ne1$.

Квадрат равен $25$ у чисел $5$ и $-5$, поэтому $x-1=5$ или $x-1=-5$, то есть $x=6$ или $x=-4$.

При $x=-4$ основание $x-1=-5$ отрицательно — не подходит. При $x=6$ основание равно $5$ — подходит.

Корень один: $x=6$.

Проверка: $\log_{5}25=2$, так как $5^{2}=25$ — верно.