Логарифмическ… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00041968

Логарифм — это показатель степени. Запись $\log_{x+2}81=4$ означает: основание $x+2$ в четвёртой степени равно $81$.

$$(x+2)^{4}=81.$$

Но не всякое число годится в основание логарифма: оно должно быть положительным и не равным единице. Запишем ограничения: $x+2\gt0$ и $x+2\ne1$.

Четвёртую степень, равную $81$, имеют два числа: $3$ и $-3$, ведь $3^{4}=81$ и $(-3)^{4}=81$.

Значит, $x+2=3$ или $x+2=-3$, то есть $x=1$ или $x=-5$.

При $x=-5$ основание $x+2=-3$ отрицательно — такого логарифма не существует, это значение отбрасываем. При $x=1$ основание $x+2=3$ подходит.

Корень у уравнения один: $x=1$.

Проверка: $\log_{3}81=4$, так как $3^{4}=81$ — верно.