Логарифмическ… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00041974

Начнём с ограничений: основание логарифма должно быть положительным и не равным единице, то есть $x+7\gt0$ и $x+7\ne1$.

По определению логарифма запись $\log_{x+7}25=2$ означает, что основание в квадрате равно $25$:

$$(x+7)^{2}=25.$$

Число $25$ — квадрат двух чисел: $5$ и $-5$. Поэтому $x+7=5$ или $x+7=-5$.

Из первого равенства $x=5-7=-2$, из второго $x=-5-7=-12$.

При $x=-12$ основание $x+7=-5$ отрицательно — это значение не подходит. При $x=-2$ основание $x+7=5$ — подходит.

Значит, у уравнения один корень $x=-2$. Если забыть про ограничение на основание, в ответ ушло бы число $-12$ — это ошибка.

Проверка: $\log_{5}25=2$, так как $5^{2}=25$ — верно.