Дисперсия и… — Задание 6 ЕГЭ по математике №00041962

Обозначу величину $X$. Стандартное отклонение — корень из дисперсии, поэтому ищу $D(X)$.

Дисперсия не меняется, если все значения сдвинуть на одно и то же число. Возьму $Y=X-2$: она принимает значения $-1$, $0$, $1$ с вероятностями $0{,}3$, $0{,}1$, $0{,}6$.

Ожидание: $M(Y)=-1\cdot0{,}3+0\cdot0{,}1+1\cdot0{,}6=0{,}3$.

Ожидание квадрата: $Y^2$ принимает значения $1$, $0$, $1$, поэтому $M(Y^2)=0{,}3+0+0{,}6=0{,}9$.

$$D(X)=D(Y)=M(Y^2)-\big(M(Y)\big)^2=0{,}9-0{,}09=0{,}81.$$

$$\sigma(X)=\sqrt{0{,}81}=0{,}9.$$

Проверка без сдвига: $M(X)=0{,}3+0{,}2+1{,}8=2{,}3$, $M(X^2)=1\cdot0{,}3+4\cdot0{,}1+9\cdot0{,}6=0{,}3+0{,}4+5{,}4=6{,}1$, $D(X)=6{,}1-2{,}3^2=6{,}1-5{,}29=0{,}81$ — совпало.