Дисперсия и… — Задание 6 ЕГЭ по математике №00041955

Дисперсию считаю по формуле $D(Z)=M(Z^2)-\big(M(Z)\big)^2$: ожидание квадрата минус квадрат ожидания.

Математическое ожидание: $M(Z)=0\cdot0{,}8+2\cdot0{,}2=0{,}4$.

Величина $Z^2$ принимает значения $0^2=0$ и $2^2=4$ с теми же вероятностями $0{,}8$ и $0{,}2$ (вероятности в квадрат не возводятся). Её ожидание $M(Z^2)=0\cdot0{,}8+4\cdot0{,}2=0{,}8$.

$$D(Z)=0{,}8-0{,}4^2=0{,}8-0{,}16=0{,}64.$$

Проверка по определению: отклонения от среднего $0-0{,}4=-0{,}4$ и $2-0{,}4=1{,}6$, их квадраты $0{,}16$ и $2{,}56$. Тогда $0{,}16\cdot0{,}8+2{,}56\cdot0{,}2=0{,}128+0{,}512=0{,}64$ — совпало.

И ещё одна проверка: $Z=2W$, где $W$ принимает значения $0$ и $1$ с вероятностями $0{,}8$ и $0{,}2$. $D(W)=0{,}2-0{,}04=0{,}16$, а при умножении величины на $2$ дисперсия умножается на $2^2=4$: $4\cdot0{,}16=0{,}64$.