Дисперсия и… — Задание 6 ЕГЭ по математике №00041959

Если ко всем значениям случайной величины прибавить или вычесть одно и то же число, разброс не меняется: дисперсия от сдвига не зависит. Поэтому вместо $X$ рассмотрю $Y=X-3$.

$Y$ принимает значения $1-3=-2$, $3-3=0$, $5-3=2$ с теми же вероятностями $0{,}1$, $0{,}8$, $0{,}1$.

Ожидание $Y$: $M(Y)=-2\cdot0{,}1+0\cdot0{,}8+2\cdot0{,}1=0$.

Раз среднее равно нулю, дисперсия $Y$ — это просто ожидание квадрата: значения $Y^2$ равны $4$, $0$, $4$.

$$D(X)=D(Y)=4\cdot0{,}1+0\cdot0{,}8+4\cdot0{,}1=0{,}4+0{,}4=0{,}8.$$

Проверка по формуле $D(X)=M(X^2)-\big(M(X)\big)^2$ без сдвига: $M(X)=0{,}1+2{,}4+0{,}5=3$, $M(X^2)=1\cdot0{,}1+9\cdot0{,}8+25\cdot0{,}1=0{,}1+7{,}2+2{,}5=9{,}8$, $D(X)=9{,}8-9=0{,}8$ — совпало.