Дисперсия и… — Задание 6 ЕГЭ по математике №00041953

Дисперсия показывает, насколько значения случайной величины в среднем разбросаны вокруг её математического ожидания. Считать её удобно по формуле $D(Z)=M(Z^2)-\big(M(Z)\big)^2$ — ожидание квадрата минус квадрат ожидания.

Перевожу вероятности в десятичные дроби: $\dfrac35=0{,}6$, $\dfrac25=0{,}4$.

Математическое ожидание: $M(Z)=0\cdot0{,}6+1\cdot0{,}4=0{,}4$.

Величина $Z^2$ принимает значения $0^2=0$ и $1^2=1$ с теми же вероятностями, то есть совпадает с $Z$. Поэтому $M(Z^2)=0{,}4$.

$$D(Z)=0{,}4-0{,}4^2=0{,}4-0{,}16=0{,}24.$$

Проверка по определению — через отклонения от среднего: $0-0{,}4=-0{,}4$ и $1-0{,}4=0{,}6$. Их квадраты $0{,}16$ и $0{,}36$, усредняю с вероятностями: $0{,}16\cdot0{,}6+0{,}36\cdot0{,}4=0{,}096+0{,}144=0{,}24$.