Математическо… — Задание 6 ЕГЭ по математике №00041956

Случайная величина $X$ — выигрыш на один билет. Она принимает значения $0$ (билет без выигрыша), $100$, $1000$, $5000$, $10\,000$ и $50\,000$ рублей.

Вероятность каждого ненулевого значения — доля билетов с этим выигрышем среди всех $10\,000$ выпущенных: $P(X=100)=\dfrac{100}{10\,000}=0{,}01$, $P(X=1000)=\dfrac{50}{10\,000}=0{,}005$, $P(X=5000)=\dfrac{10}{10\,000}=0{,}001$, $P(X=10\,000)=\dfrac{2}{10\,000}=0{,}0002$, $P(X=50\,000)=\dfrac{1}{10\,000}=0{,}0001$.

Математическое ожидание — сумма произведений значений на их вероятности; значение $0$ ничего не добавляет:

$$M(X)=100\cdot0{,}01+1000\cdot0{,}005+5000\cdot0{,}001+10\,000\cdot0{,}0002+50\,000\cdot0{,}0001.$$

Считаю слагаемые: $100\cdot0{,}01=1$; $1000\cdot0{,}005=5$; $5000\cdot0{,}001=5$; $10\,000\cdot0{,}0002=2$; $50\,000\cdot0{,}0001=5$.

$$M(X)=1+5+5+2+5=18.$$

Проверка другим способом: общая сумма всех выигрышей $100\cdot100+1000\cdot50+5000\cdot10+10\,000\cdot2+50\,000\cdot1=10\,000+50\,000+50\,000+20\,000+50\,000=180\,000$ р. Разделив её поровну на $10\,000$ билетов, получаю $18$ р. на билет — совпало.