Задание 5 ЕГЭ по математике №00041936

Стрелок стреляет, пока не попадёт, но не больше, чем у него патронов. Если дать ему $n$ патронов, цель останется непоражённой только в одном случае: все $n$ выстрелов — промахи.

Выстрелы независимы, поэтому вероятность $n$ промахов подряд равна произведению вероятностей: $0{,}8^{n}$. Значит, вероятность поразить цель при $n$ патронах равна $1-0{,}8^{n}$.

Нужно наименьшее $n$, при котором $1-0{,}8^{n}\ge0{,}6$, то есть $0{,}8^{n}\le0{,}4$.

Считаю степени по очереди: $0{,}8^{1}=0{,}8$; $0{,}8^{2}=0{,}64$; $0{,}8^{3}=0{,}512$; $0{,}8^{4}=0{,}4096$; $0{,}8^{5}=0{,}32768$.

$0{,}8^{4}=0{,}4096$ ещё больше $0{,}4$: с четырьмя патронами вероятность попадания $1-0{,}4096=0{,}5904$, это меньше $0{,}6$. А $0{,}8^{5}=0{,}32768\le0{,}4$: с пятью патронами вероятность попадания $0{,}67232\ge0{,}6$.

Проверка прямым сложением: попасть первым выстрелом — $0{,}2$, вторым — $0{,}8\cdot0{,}2=0{,}16$, третьим — $0{,}8^{2}\cdot0{,}2=0{,}128$, четвёртым — $0{,}1024$, пятым — $0{,}08192$. Сумма первых четырёх $0{,}5904$ — не хватает, а пяти — $0{,}67232$ — достаточно.