Задание 5 ЕГЭ по математике №00041931

Шаг вверх происходит с вероятностью $p=\dfrac{10}{13}$, шаг вниз — с вероятностью $1-p=\dfrac{3}{13}$.

Обозначу через $x$ вероятность того, что последовательность когда-нибудь окажется на единицу ниже своего стартового числа. Правило шага одно и то же при любом числе, поэтому $x$ — это и вероятность попасть из $0$ в $-1$, и вероятность попасть из $1$ в $0$.

Делю все случаи по первому шагу (формула полной вероятности).

Первый шаг вниз (вероятность $\dfrac{3}{13}$): второй член равен $-1$, событие наступило.

Первый шаг вверх (вероятность $\dfrac{10}{13}$): второй член равен $1$. Чтобы встретить $-1$, нужно сначала дойти из $1$ до $0$ (вероятность $x$), а затем из $0$ до $-1$ (вероятность $x$). Эти куски пути идут друг за другом и независимы, вместе — $x^2$.

$$x=\dfrac{3}{13}+\dfrac{10}{13}x^2.$$

Умножаю на $13$: $10x^2-13x+3=0$. Дискриминант $D=169-120=49$, корни $x=\dfrac{13\pm7}{20}$, то есть $x=1$ и $x=\dfrac{6}{20}=0{,}3$.

Выбираю корень. Пусть $x_n$ — вероятность встретить $-1$ за первые $n$ шагов; $x$ — предел этих чисел. Разбор первого шага даёт $x_{n+1}\le\dfrac{3}{13}+\dfrac{10}{13}x_n^2$. Начало: $x_0=0\le0{,}3$. Если $x_n\le0{,}3$, то $x_{n+1}\le\dfrac{3}{13}+\dfrac{10}{13}\cdot0{,}09=\dfrac{3+0{,}9}{13}=\dfrac{3{,}9}{13}=0{,}3$. Значит, все $x_n\le0{,}3$, и $x\le0{,}3$; корень $1$ отпадает.

Проверка подстановкой: $\dfrac{3}{13}+\dfrac{10}{13}\cdot0{,}09=\dfrac{3+0{,}9}{13}=\dfrac{3{,}9}{13}=0{,}3$ — верно. Ещё одна проверка: при $p$, близком к $1$, найти $-1$ почти невозможно, и формула корня $\dfrac{1-p}{p}=\dfrac{3}{10}$ это подтверждает — она тем меньше, чем больше $p$.