Задание 5 ЕГЭ по математике №00041934

Обозначу гипотезы: $H_1$ — взяли обычный кубик, $H_2$ — взяли второй кубик. Кубик выбирают случайно, поэтому $P(H_1)=P(H_2)=\dfrac{1}{2}$.

Событие $A$ — за два броска выпали $2$ и $4$ в каком-то порядке. Это два исхода: «сначала $2$, потом $4$» и «сначала $4$, потом $2$».

Обычный кубик: каждое число выпадает с вероятностью $\dfrac{1}{6}$, броски независимы, поэтому $P(A|H_1)=2\cdot\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18}$.

Второй кубик: числа $2$ и $4$ стоят каждое на двух гранях из шести, значит, каждое выпадает с вероятностью $\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$. $P(A|H_2)=2\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{9}=\dfrac{4}{18}$.

По формуле Байеса искомая вероятность — доля случаев «второй кубик и выпали $2$ и $4$» среди всех случаев «выпали $2$ и $4$»:

$$P(H_2|A)=\dfrac{\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{18}}{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{18}+\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{18}}=\dfrac{4}{1+4}=\dfrac{4}{5}=0{,}8.$$

Проверка на «живых» числах: $72$ опыта, по $36$ с каждым кубиком. С обычным кубиком пара $2$ и $4$ выпадет в среднем $36\cdot\dfrac{1}{18}=2$ раза, со вторым — $36\cdot\dfrac{2}{9}=8$ раз. Из $2+8=10$ таких случаев второй кубик даёт $8$: $\dfrac{8}{10}=0{,}8$.