Задание 5 ЕГЭ по математике №00041930

Обозначу через $x$ вероятность того, что последовательность когда-нибудь опустится на единицу ниже своего стартового числа. Правило шага одинаковое при любом числе, поэтому эта вероятность не зависит от того, откуда стартовать. Искомая вероятность — это $x$: старт $0$, цель $-1$.

Разберу первый шаг (формула полной вероятности).

С вероятностью $1-p=0{,}2$ второй член равен $-1$ — число найдено сразу.

С вероятностью $p=0{,}8$ второй член равен $1$. Теперь до $-1$ две ступени: сначала нужно когда-нибудь спуститься с $1$ до $0$ (вероятность $x$), а потом с $0$ до $-1$ (снова $x$). Второй спуск начинается после первого и от него не зависит, поэтому вероятность пройти обе ступени равна $x\cdot x=x^2$.

Складываю вероятности двух вариантов первого шага:

$$x=0{,}2+0{,}8x^2.$$

Умножаю на $5$ и переношу всё в одну часть: $4x^2-5x+1=0$. Дискриминант $D=25-16=9$, корни $x=\dfrac{5\pm3}{8}$, то есть $x=1$ и $x=\dfrac{1}{4}=0{,}25$.

Какой корень верный? Пусть $x_n$ — вероятность встретить $-1$ среди первых $n$ шагов; $x$ — предел этих чисел при росте $n$. Тот же разбор первого шага даёт $x_{n+1}\le0{,}2+0{,}8x_n^2$. Начинаю с $x_0=0\le0{,}25$. Если $x_n\le0{,}25$, то $x_{n+1}\le0{,}2+0{,}8\cdot0{,}0625=0{,}2+0{,}05=0{,}25$. Значит, все $x_n$ не больше $0{,}25$, и их предел тоже: $x\le0{,}25$. Корень $1$ не подходит.

По смыслу так и должно быть: шаг вверх намного вероятнее шага вниз, последовательность в среднем уходит вверх, и встретить $-1$ удаётся не всегда.

Проверка подстановкой: $0{,}2+0{,}8\cdot0{,}25^2=0{,}2+0{,}8\cdot0{,}0625=0{,}2+0{,}05=0{,}25$ — равенство верное.