Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00041905

Вершины пирамиды $A$, $C$, $B_1$, $D_1$ — четыре вершины параллелепипеда, взятые «через одну». Если от параллелепипеда отрезать четыре треугольные пирамиды при остальных вершинах $B$, $D$, $A_1$, $C_1$, останется как раз пирамида $AD_1CB_1$.

Отрезаемые пирамиды: $B_1ABC$ (у вершины $B$), $D_1ACD$ (у вершины $D$), $AA_1B_1D_1$ (у вершины $A_1$) и $CB_1C_1D_1$ (у вершины $C_1$).

Найду объём одной из них, например $B_1ABC$. Её основание — треугольник $ABC$; диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABCD$ пополам, поэтому $S_{ABC}=\dfrac12S_{ABCD}$.

Высота этой пирамиды — расстояние от $B_1$ до плоскости $ABCD$, то есть высота параллелепипеда $h$.

По формуле объёма пирамиды $V=\dfrac13S_{\text{осн}}\cdot h$:

$$V_{B_1ABC}=\dfrac13\cdot\dfrac12S_{ABCD}\cdot h=\dfrac16S_{ABCD}\cdot h=\dfrac16V_{\text{пар}}.$$

Остальные три пирамиды устроены так же: основание каждой — половина грани параллелепипеда, а вершина лежит в противоположной грани. Значит, объём каждой тоже $\dfrac16V_{\text{пар}}$.

Объём искомой пирамиды:

$$V=V_{\text{пар}}-4\cdot\dfrac16V_{\text{пар}}=\dfrac13V_{\text{пар}}=\dfrac13\cdot6=2.$$

Проверка на кубе с ребром $1$: все рёбра пирамиды $AD_1CB_1$ — диагонали граней длиной $\sqrt2$, это правильный тетраэдр, его объём $\dfrac{\left(\sqrt2\right)^3\cdot\sqrt2}{12}=\dfrac{4}{12}=\dfrac13$ — та же треть объёма.