Задание 2 ЕГЭ по математике №00041881

Координат у векторов нет, зато известны длины и скалярное произведение. Поэтому работаю со скалярным квадратом: квадрат длины вектора равен скалярному произведению вектора на себя, $|\vec c|^2=\vec c\cdot\vec c$.

Раскрываю скобки так же, как квадрат суммы:

$$|\vec c|^2=\Bigl(\vec a+\dfrac16\vec b\Bigr)^2=|\vec a|^2+2\cdot\dfrac16\,\vec a\cdot\vec b+\dfrac{1}{36}\,|\vec b|^2.$$

Считаю каждое слагаемое отдельно:

$|\vec a|^2=4^2=16$;

$2\cdot\dfrac16\cdot120=\dfrac{240}{6}=40$;

$\dfrac{1}{36}\cdot30^2=\dfrac{900}{36}=25$.

$$|\vec c|^2=16+40+25=81,\qquad |\vec c|=\sqrt{81}=9.$$

Проверка через неравенство треугольника: $|\vec a|=4$, $\Bigl|\dfrac16\vec b\Bigr|=5$, длина суммы не больше $4+5=9$. Здесь получилось ровно $9$ — так бывает, когда векторы сонаправлены. Действительно, $\vec a\cdot\vec b=120=4\cdot30$, то есть $\cos\varphi=1$, угол между векторами нулевой. Всё сходится.