Задание 2 ЕГЭ по математике №00041877

Оба вектора начинаются в одной точке, но не в начале координат. Поэтому координаты вектора нахожу как разность «конец минус начало».

По сетке: общее начало — точка $(1;\,7)$, конец $\vec a$ — точка $(4;\,3)$, конец $\vec b$ — точка $(2;\,2)$.

$$\vec a=(4-1;\;3-7)=(3;\,-4),\qquad \vec b=(2-1;\;2-7)=(1;\,-5).$$

То же видно по клеткам: $\vec a$ проходит 3 клетки вправо и 4 вниз, $\vec b$ — 1 клетку вправо и 5 вниз.

Скалярное произведение — сумма произведений одноимённых координат:

$$\vec a\cdot\vec b=3\cdot1+(-4)\cdot(-5)=3+20=23.$$

Проверка: угол между стрелками на рисунке острый, значит, скалярное произведение должно быть положительным. Ещё одна проверка через длины: $|\vec a|=5$, $|\vec b|=\sqrt{26}$, $\cos\varphi=\dfrac{23}{5\sqrt{26}}\approx0{,}90$ — угол острый, около $25^\circ$, как на рисунке.