Задание 2 ЕГЭ по математике №00041876

Скалярное произведение выражается через длины векторов и косинус угла между ними:

$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\varphi.$$

Множитель $|\vec a|\cdot\cos\varphi$ — это проекция $\vec a$ на направление $\vec b$. Считаю её: $\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}$, поэтому

$$|\vec a|\cdot\cos45^\circ=4\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=2\sqrt2.$$

Тогда скалярное произведение равно $|\vec b|\cdot2\sqrt2$, и получаю уравнение:

$$|\vec b|\cdot2\sqrt2=8\sqrt2.$$

Делю обе части на $2\sqrt2$:

$$|\vec b|=\dfrac{8\sqrt2}{2\sqrt2}=4.$$

Проверка подстановкой: $4\cdot4\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=16\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=8\sqrt2$ — как в условии.