Global EE

Задание 2 ЕГЭ по математике №00041875

Задание №2. Векторы

Векторы и операции с ними

№2. Задание 2

ID: 00041875

Длина вектора $\vec{a}$ равна $3$, угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $45^\circ$, а скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}$ равно $15\sqrt{2}$. Найдите длину вектора $\vec{b}$.

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними:

$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\varphi.$$

Табличное значение: $\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}$. Подставляю всё известное:

$$15\sqrt2=3\cdot|\vec b|\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}.$$

Справа $3\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{3\sqrt2}{2}$. Делю обе части на это число:

$$|\vec b|=\dfrac{15\sqrt2\cdot2}{3\sqrt2}=\dfrac{30}{3}=10.$$

Проверка подстановкой: $3\cdot10\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=15\sqrt2$ — совпадает с условием.

Ответ

10
Другие задания по теме «Векторы и операции с ними» (8)