Задание 2 ЕГЭ по математике №00041871

Косинус угла между векторами выражаю из определения скалярного произведения $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\varphi$:

$$\cos\varphi=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}.$$

Скалярное произведение — сумма произведений одноимённых координат:

$$\vec a\cdot\vec b=7\cdot(-1)+1\cdot(-7)=-7-7=-14.$$

Длины — по теореме Пифагора: $|\vec a|=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}$, $|\vec b|=\sqrt{(-1)^2+(-7)^2}=\sqrt{50}$.

Произведение длин: $\sqrt{50}\cdot\sqrt{50}=50$.

$$\cos\varphi=\dfrac{-14}{50}=-0{,}28.$$

Проверка: $|-0{,}28|\le1$, как положено косинусу. Знак минус означает тупой угол: $\vec a$ направлен вправо, почти горизонтально, а $\vec b$ — вниз-влево, почти вертикально, и угол между ними действительно чуть больше прямого.