Задание 2 ЕГЭ по математике №00041865

На рисунке оба вектора отложены от начала координат, поэтому их координаты — это координаты концов стрелок. По пунктирным проекциям: конец $\vec b$ в точке $(4;\,5)$, конец $\vec a$ — в точке $(5;\,-2)$ (он ниже оси $x$).

$$\vec a(5;\,-2),\qquad \vec b(4;\,5).$$

Чтобы умножить вектор на число, умножаю на это число каждую координату; при сложении векторов складываю соответствующие координаты. Поэтому координаты $-\vec a-\vec b$ — это минус сумма координат:

$$-\vec a-\vec b=\bigl(-5-4;\;2-5\bigr)=(-9;\,-3).$$

Квадрат длины вектора — сумма квадратов его координат (это теорема Пифагора, только без корня):

$$|-\vec a-\vec b|^2=(-9)^2+(-3)^2=81+9=90.$$

Проверю другим способом. Вектор $-\vec a-\vec b$ противоположен $\vec a+\vec b$, длина у них одна. Раскрываю скалярный квадрат суммы: $|\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+2\,\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2$.

$|\vec a|^2=25+4=29$, $|\vec b|^2=16+25=41$, $\vec a\cdot\vec b=5\cdot4+(-2)\cdot5=20-10=10$.

$$29+2\cdot10+41=90.$$ Совпало. Заодно видно, что векторы не перпендикулярны: $\vec a\cdot\vec b=10\ne0$, поэтому просто сложить $|\vec a|^2+|\vec b|^2=70$ было бы ошибкой.