Трапеция — Задание 1 ЕГЭ по математике №00041862

Трапеция вписана в окружность, поэтому все её вершины удалены от центра $O$ на $R=20$. Основания $AB=32$ и $DC=24$ — хорды этой окружности.

Соединю центр с концами основания $AB$: треугольник $AOB$ равнобедренный ($OA=OB=20$). Его высота $OP$ на $AB$ попадает в середину основания, так что $AP=\dfrac{32}{2}=16$.

По теореме Пифагора в треугольнике $AOP$:

$$OP=\sqrt{OA^2-AP^2}=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{400-256}=\sqrt{144}=12.$$

Так же для основания $DC$: высота $OQ$ треугольника $DOC$ делит $DC$ пополам, $DQ=12$, и

$$OQ=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16.$$

Отрезки $OP$ и $OQ$ перпендикулярны параллельным основаниям, поэтому лежат на одной прямой. Центр внутри трапеции, значит, основания находятся по разные стороны от него, и высота трапеции равна сумме расстояний: $h=OP+OQ=12+16=28$.

Проверю координатами. Центр — в начале координат, ось $Oy$ — ось симметрии трапеции: $A(-16;-12)$, $B(16;-12)$, $D(-12;16)$, $C(12;16)$. Вершины лежат на окружности радиуса $20$: $16^2+12^2=256+144=400=20^2$. Разность ординат оснований $16-(-12)=28$ — совпадает.