Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00041861

Высота $AH$ опущена на сторону $BC$, поэтому треугольник $ABH$ прямоугольный: гипотенуза $AB=15$, катеты $BH$ и $AH$.

Треугольник $ABC$ равнобедренный ($AC=BC$), значит, углы при основании $AB$ равны: $\angle B=\angle BAC$, и $\cos B=\dfrac{\sqrt{19}}{10}$.

Катет $BH$ прилежит к углу $B$:

$$BH=AB\cdot\cos B=15\cdot\dfrac{\sqrt{19}}{10}=1{,}5\sqrt{19}.$$

Второй катет — по теореме Пифагора:

$$AH^2=AB^2-BH^2=225-2{,}25\cdot19=225-42{,}75=182{,}25.$$

$AH=\sqrt{182{,}25}=13{,}5$ (так как $13{,}5^2=182{,}25$).

Проверю через синус. $\sin^2 B=1-\dfrac{19}{100}=\dfrac{81}{100}$, угол острый, $\sin B=\dfrac{9}{10}$. Катет $AH$ лежит против угла $B$: $AH=15\cdot\dfrac{9}{10}=13{,}5$ — совпадает.