Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00041860

Треугольник $ABC$ равнобедренный: $AC=BC$, основание — $AB$. Углы при основании равны: $\angle ABC=\angle BAC$.

Высота $AH$ опущена на сторону $BC$, поэтому треугольник $ABH$ прямоугольный с прямым углом $H$. В нём гипотенуза — $AB=16$, а катет $AH$ лежит против угла $B$:

$$AH=AB\cdot\sin B=AB\cdot\sin\angle BAC.$$

Синус найду из основного тригонометрического тождества:

$$\sin^2\angle BAC=1-\left(\dfrac{\sqrt7}{4}\right)^2=1-\dfrac{7}{16}=\dfrac{9}{16}.$$

Угол острый, поэтому $\sin\angle BAC=\dfrac34$. Тогда $AH=16\cdot\dfrac34=12$.

Проверю через площадь. Опущу из $C$ высоту $CM$ на основание: $AM=8$. Тангенс угла $A$ равен $\dfrac{\sin A}{\cos A}=\dfrac{3}{\sqrt7}$. В треугольнике $AMC$: $CM=AM\cdot\operatorname{tg}A=\dfrac{24}{\sqrt7}$ и $AC=\dfrac{AM}{\cos A}=\dfrac{32}{\sqrt7}$.

Площадь через основание: $S=\dfrac12\cdot16\cdot\dfrac{24}{\sqrt7}=\dfrac{192}{\sqrt7}$. Через сторону $BC=AC$: $S=\dfrac12\cdot BC\cdot AH$, откуда $AH=\dfrac{2S}{BC}=\dfrac{384}{\sqrt7}\cdot\dfrac{\sqrt7}{32}=12$ — совпадает.