Параллелограм… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00041853

Запишу площадь ромба двумя способами. Пусть сторона ромба равна $a$.

Через две стороны и угол между ними: $S=a\cdot a\cdot\sin30^\circ=\dfrac{a^2}{2}$.

Через вписанную окружность: у многоугольника, в который вписана окружность, площадь равна полупериметру, умноженному на радиус. Полупериметр ромба $p=\dfrac{4a}{2}=2a$, поэтому $S=2a\cdot9=18a$.

Приравниваю: $\dfrac{a^2}{2}=18a$.

Сторона положительна, поэтому делю обе части на $a$: $\dfrac a2=18$, откуда $a=36$.

Проверю через высоту. Окружность касается двух параллельных сторон ромба, поэтому высота ромба равна диаметру: $h=2\cdot9=18$. Высота — катет против угла $30^\circ$ в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $a$, значит, $h=\dfrac a2$ и $a=2\cdot18=36$ — совпадает.