Параллелограм… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00041852

Вписанная окружность касается всех четырёх сторон ромба, в том числе двух противоположных параллельных сторон $AB$ и $DC$. Точки касания с ними лежат на одном диаметре, перпендикулярном этим сторонам, поэтому расстояние между $AB$ и $DC$ — высота ромба $h$ — равно диаметру:

$$h=2r=2\cdot2=4.$$

Опущу высоту $DH$ из вершины $D$ на сторону $AB$. В прямоугольном треугольнике $AHD$ гипотенуза — сторона ромба $AD=a$, а катет $DH=h$ лежит против угла $A=30^\circ$.

Катет против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы: $h=a\cdot\sin30^\circ=\dfrac a2$.

Значит, $a=2h=2\cdot4=8$.

Проверю через площадь. Площадь ромба равна $a^2\sin30^\circ=\dfrac{a^2}{2}$. С другой стороны, площадь многоугольника, в который вписана окружность, равна полупериметру, умноженному на радиус: $S=p\cdot r=2a\cdot2=4a$. Приравниваю: $\dfrac{a^2}{2}=4a$, откуда $a=8$ — совпадает.