Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00041848

Треугольник $ABC$ равнобедренный: $AC=BC=7$, основание — $AB$. Опущу из вершины $C$ высоту $CM$ на основание. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является и медианой, поэтому $AM=MB=\dfrac{AB}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $AMC$ гипотенуза $AC=7$, а катет $AM$ прилежит к углу $A$. Значит, $AM=AC\cdot\cos A$, и нужно найти $\cos A$ по известному тангенсу.

Тангенс и косинус связывает основное тригонометрическое тождество в форме

$$1+\operatorname{tg}^2 A=\dfrac{1}{\cos^2 A}.$$

Подставляю $\operatorname{tg}^2 A=\dfrac{33}{16}$: $1+\dfrac{33}{16}=\dfrac{49}{16}=\dfrac{1}{\cos^2 A}$, откуда $\cos^2 A=\dfrac{16}{49}$.

Угол при основании равнобедренного треугольника острый, поэтому косинус положительный: $\cos A=\dfrac47$.

Тогда $AM=7\cdot\dfrac47=4$, а всё основание $AB=2\cdot AM=2\cdot4=8$.

Проверю другим способом. В треугольнике $AMC$ тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему: $\dfrac{CM}{AM}=\dfrac{\sqrt{33}}{4}$. Пусть $AM=4t$, $CM=\sqrt{33}\,t$. По теореме Пифагора $AC^2=16t^2+33t^2=49t^2$, то есть $7t=7$ и $t=1$. Снова $AM=4$ и $AB=8$.