Параллелограм… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00041847

Посмотрю на диагонали четырёхугольника $MNKL$ — это отрезки $MK$ и $NL$.

Точки $M$ и $K$ — середины противоположных сторон $AB$ и $CD$. Отрезок $MK$ параллелен стороне $AD$ и равен ей (четырёхугольник $AMKD$ — параллелограмм: $AM$ и $DK$ — равные половины параллельных сторон). Точно так же $NL\parallel AB$ и $NL=AB$.

Раз $MK\parallel AD$ и $NL\parallel AB$, угол между $MK$ и $NL$ равен углу $A$ параллелограмма или дополняет его до $180^\circ$, а синус у этих углов одинаковый.

Площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

$$S_{MNKL}=\dfrac12\cdot MK\cdot NL\cdot\sin A=\dfrac12\cdot AD\cdot AB\cdot\sin A.$$

Произведение $AD\cdot AB\cdot\sin A$ — это площадь параллелограмма $ABCD$, то есть $528$. Значит, $S_{MNKL}=\dfrac12\cdot528=264$.

Проверю через угловые треугольники. Диагональ $AC$ делит $ABCD$ пополам: $S_{ABC}=264$. Треугольник $MBN$ подобен $ABC$ с коэффициентом $\dfrac12$, поэтому его площадь в $4$ раза меньше: $\dfrac{264}{4}=66$. Каждый из четырёх угловых треугольников имеет площадь $66$, вместе $4\cdot66=264$. Остаток: $528-264=264$ — совпадает.