Параллелограм… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00041846

Проведу диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма — с ними удобно сравнивать площади.

Диагональ $AC$ делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому $S_{ABC}=\dfrac{219}{2}$.

Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом $\dfrac12$: стороны $BM$ и $BN$ — половины $BA$ и $BC$, угол $B$ общий.

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому

$$S_{MBN}=\left(\dfrac12\right)^2 S_{ABC}=\dfrac14\cdot\dfrac{219}{2}=\dfrac{219}{8}.$$

Точно так же каждый из угловых треугольников $NCK$, $KDL$, $LAM$ занимает четверть от половины параллелограмма (от треугольников $BCD$, $CDA$, $DAB$), то есть тоже $\dfrac{219}{8}$.

Четыре угловых треугольника вместе: $4\cdot\dfrac{219}{8}=\dfrac{219}{2}=109{,}5$.

Параллелограмм $MNKL$ — это $ABCD$ без угловых треугольников: $S_{MNKL}=219-109{,}5=109{,}5$.

Проверю другим способом. Диагонали четырёхугольника $MNKL$ — отрезки $MK$ и $NL$. Отрезок $MK$ соединяет середины противоположных сторон $AB$ и $CD$, поэтому он параллелен $AD$ и равен ей; так же $NL\parallel AB$ и $NL=AB$. Угол между $MK$ и $NL$ равен углу $A$ параллелограмма или дополняет его до $180^\circ$ — синус у таких углов одинаковый.

Площадь четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:

$$S_{MNKL}=\dfrac12\cdot AD\cdot AB\cdot\sin A=\dfrac12\cdot S_{ABCD}=\dfrac{219}{2}=109{,}5.$$