Правильные… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00041844

Угол между двумя соседними сторонами — это внутренний угол многоугольника при вершине. У правильного многоугольника все внутренние углы равны, поэтому каждый из них равен сумме всех углов, делённой на число сторон $n$.

Сумма внутренних углов выпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$. Значит, для одного угла:

$$\dfrac{180^\circ(n-2)}{n}=108^\circ.$$

Умножаю обе части на $n$: $180n-360=108n$.

Переношу слагаемые с $n$ влево: $180n-108n=360$, то есть $72n=360$.

Отсюда $n=\dfrac{360}{72}=5$.

Проверю другим способом — через внешние углы. Внешний угол при вершине смежный с внутренним, поэтому он равен $180^\circ-108^\circ=72^\circ$. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника (по одному при каждой вершине) равна $360^\circ$, а у правильного все они одинаковые. Значит, вершин $\dfrac{360^\circ}{72^\circ}=5$ — то же самое.

И подстановкой: у пятиугольника сумма углов $180^\circ\cdot3=540^\circ$, один угол $\dfrac{540^\circ}{5}=108^\circ$ — верно.