Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , для каждого из которых уравнение 4 в…

В уравнении встречаются 4^{x} и 2^{x}. Первое — это квадрат второго: 4^{x}=(2^{2})^{x}=(2^{x})^{2}. Поэтому выбираем метод замены переменной: обозначим t=2^{x}. Замена удобна тем, что превращает показательное уравнение в обычное алгебраическое, а вместо графиков достаточно будет следить за одним условием t\gt 0.

Показательная функция y=2^{x} принимает только положительные значения и каждое положительное значение принимает ровно один раз (она строго возрастает). Значит, каждому допустимому t\gt 0 отвечает ровно один корень x=\log_{2}t, а при t\leq 0 корней нет вовсе. Это ключ ко всей задаче.

После замены уравнение принимает вид

t^{2}+(a-6)t=(2+3|a|)t+(a-6)(3|a|+2).

Чтобы было короче, обозначим b=a-6 и c=3|a|+2. Тогда уравнение — это t^{2}+bt=ct+bc. Перенесём всё влево: t^{2}+bt-ct-bc=0.

Теперь видно, как сгруппировать: t(t+b)-c(t+b)=0, то есть (t+b)(t-c)=0. Это и есть разложение на множители, ради которого мы затевали замену.

Значит, t=c=3|a|+2 или t=-b=6-a.

Случай 1 — значение t=3|a|+2. Оно положительно при любом a, ведь 3|a|\geq 0, а значит, 3|a|+2\geq 2\gt 0. Этот корень по x есть всегда.

Случай 2 — значение t=6-a. Оно годится только при 6-a\gt 0, то есть при a\lt 6. При a\geq 6 такого корня нет.

Единственность корня по x достигается двумя путями. Первый: второе значение t недопустимо, то есть a\geq 6.

Второй путь: оба значения t допустимы, но совпадают, то есть 6-a=3|a|+2. Раскрываем модуль по знаку a. Если a\geq 0, то 6-a=3a+2, откуда 4=4a и a=1; проверка: слева 6-1=5, справа 3\cdot 1+2=5 — совпало. Если a\lt 0, то |a|=-a и 6-a=-3a+2, откуда 2a=-4 и a=-2; проверка: слева 6-(-2)=8, справа 3\cdot 2+2=8 — совпало.

Во всех остальных случаях (a\lt 6, кроме a=-2 и a=1) получаются два разных положительных значения t, а значит, два разных корня x — это нам не подходит.