Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00028801

В уравнении встречаются $4^{x}$ и $2^{x}$. Первое — это квадрат второго: $4^{x}=(2^{2})^{x}=(2^{x})^{2}$. Поэтому выбираем метод замены переменной: обозначим $t=2^{x}$. Замена удобна тем, что превращает показательное уравнение в обычное алгебраическое, а вместо графиков достаточно будет следить за одним условием $t\gt 0$.

Показательная функция $y=2^{x}$ принимает только положительные значения и каждое положительное значение принимает ровно один раз (она строго возрастает). Значит, каждому допустимому $t\gt 0$ отвечает ровно один корень $x=\log_{2}t$, а при $t\leq 0$ корней нет вовсе. Это ключ ко всей задаче.

После замены уравнение принимает вид

$$t^{2}+(a-6)t=(2+3|a|)t+(a-6)(3|a|+2).$$

Чтобы было короче, обозначим $b=a-6$ и $c=3|a|+2$. Тогда уравнение — это $t^{2}+bt=ct+bc$. Перенесём всё влево: $t^{2}+bt-ct-bc=0$.

Теперь видно, как сгруппировать: $t(t+b)-c(t+b)=0$, то есть $(t+b)(t-c)=0$. Это и есть разложение на множители, ради которого мы затевали замену.

Значит, $t=c=3|a|+2$ или $t=-b=6-a$.

Случай 1 — значение $t=3|a|+2$. Оно положительно при любом $a$, ведь $3|a|\geq 0$, а значит, $3|a|+2\geq 2\gt 0$. Этот корень по $x$ есть всегда.

Случай 2 — значение $t=6-a$. Оно годится только при $6-a\gt 0$, то есть при $a\lt 6$. При $a\geq 6$ такого корня нет.

Единственность корня по $x$ достигается двумя путями. Первый: второе значение $t$ недопустимо, то есть $a\geq 6$.

Второй путь: оба значения $t$ допустимы, но совпадают, то есть $6-a=3|a|+2$. Раскрываем модуль по знаку $a$. Если $a\geq 0$, то $6-a=3a+2$, откуда $4=4a$ и $a=1$; проверка: слева $6-1=5$, справа $3\cdot 1+2=5$ — совпало. Если $a\lt 0$, то $|a|=-a$ и $6-a=-3a+2$, откуда $2a=-4$ и $a=-2$; проверка: слева $6-(-2)=8$, справа $3\cdot 2+2=8$ — совпало.

Во всех остальных случаях ($a\lt 6$, кроме $a=-2$ и $a=1$) получаются два разных положительных значения $t$, а значит, два разных корня $x$ — это нам не подходит.