Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00028802

Здесь стоят $25^{x}$ и $5^{x}$, а $25^{x}=(5^{2})^{x}=(5^{x})^{2}$. Поэтому берём метод замены переменной: пусть $t=5^{x}$. Такой выбор оправдан тем, что после замены останется алгебра, которая красиво раскладывается на множители, — ни графики, ни дискриминант тут не нужны.

Функция $y=5^{x}$ строго возрастает и принимает все положительные значения, каждое ровно один раз. Значит, каждому $t\gt 0$ отвечает ровно один $x=\log_{5}t$, а значения $t\leq 0$ вообще не дают корней. Дальше мы просто считаем допустимые $t$.

Уравнение после замены: $t^{2}-(a+6)t=(5+3|a|)t-(a+6)(3|a|+5)$.

Обозначим $b=a+6$ и $c=3|a|+5$, тогда это $t^{2}-bt=ct-bc$. Переносим всё влево: $t^{2}-bt-ct+bc=0$.

Группируем: $t(t-b)-c(t-b)=0$, то есть $(t-b)(t-c)=0$. Значит, $t=b=a+6$ или $t=c=3|a|+5$.

Случай 1 — значение $t=3|a|+5$. Так как $3|a|\geq 0$, то $3|a|+5\geq 5\gt 0$, и этот корень по $x$ существует при любом $a$.

Случай 2 — значение $t=a+6$. Оно даёт корень только при $a+6\gt 0$, то есть при $a\gt -6$; при $a\leq -6$ корня нет.

Единственность получается либо когда второе значение $t$ непригодно, то есть при $a\leq -6$, либо когда два значения совпадают: $a+6=3|a|+5$.

Раскроем модуль. Если $a\geq 0$, то $a+6=3a+5$, откуда $1=2a$ и $a=\dfrac12$; проверим: слева $\dfrac12+6=6{,}5$, справа $3\cdot\dfrac12+5=6{,}5$ — верно. Если $a\lt 0$, то $a+6=-3a+5$, откуда $4a=-1$ и $a=-\dfrac14$; проверим: слева $-\dfrac14+6=5{,}75$, справа $3\cdot\dfrac14+5=5{,}75$ — верно, и при этом $a\gt -6$, то есть значение допустимо.

При остальных $a\gt -6$ значения $t$ различны и оба положительны, поэтому корней по $x$ будет два — не подходит.