Найдите все значения a , для каждого из которых уравнение 25 в степени x минус левая круглая скобка a плюс 6 правая круглая скобка 5 в степени x равно левая круглая скобка 5 плюс 3 модуль a модуль правая круглая скобка 5 в степени x минус левая круглая скобка a плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 модуль a модуль плюс 5 правая круглая скобка имеет единственное решение.

левая круглая скобка минус бесконечность; минус 6 правая квадратная скобка объединение левая { минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая } объединение левая { дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая }

Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , для каждого из которых уравнение 25 в…

№2. Задание 18

ID: 00028802

Найдите все значения $a$ , для каждого из которых уравнение

$25^{x}-(a+6)5^{x}=(5+3|a|)5^{x}-(a+6)(3|a|+5)$

имеет единственное решение.

Источник: ФИПИ

Решение

Здесь стоят $25^{x}$ и $5^{x}$ , а $25^{x}=(5^{2})^{x}=(5^{x})^{2}$ . Поэтому берём метод замены переменной: пусть $t=5^{x}$ . Такой выбор оправдан тем, что после замены останется алгебра, которая красиво раскладывается на множители, — ни графики, ни дискриминант тут не нужны.

Функция $y=5^{x}$ строго возрастает и принимает все положительные значения, каждое ровно один раз. Значит, каждому $t\gt 0$ отвечает ровно один $x=\log_{5}t$ , а значения $t\leq 0$ вообще не дают корней. Дальше мы просто считаем допустимые $t$ .

Уравнение после замены: $t^{2}-(a+6)t=(5+3|a|)t-(a+6)(3|a|+5)$ .

Обозначим $b=a+6$ и $c=3|a|+5$ , тогда это $t^{2}-bt=ct-bc$ . Переносим всё влево: $t^{2}-bt-ct+bc=0$ .

Группируем: $t(t-b)-c(t-b)=0$ , то есть $(t-b)(t-c)=0$ . Значит, $t=b=a+6$ или $t=c=3|a|+5$ .

Случай 1 — значение $t=3|a|+5$ . Так как $3|a|\geq 0$ , то $3|a|+5\geq 5\gt 0$ , и этот корень по $x$ существует при любом $a$ .

Случай 2 — значение $t=a+6$ . Оно даёт корень только при $a+6\gt 0$ , то есть при $a\gt -6$ ; при $a\leq -6$ корня нет.

Единственность получается либо когда второе значение $t$ непригодно, то есть при $a\leq -6$ , либо когда два значения совпадают: $a+6=3|a|+5$ .

Раскроем модуль. Если $a\geq 0$ , то $a+6=3a+5$ , откуда $1=2a$ и $a=\dfrac12$ ; проверим: слева $\dfrac12+6=6{,}5$ , справа $3\cdot\dfrac12+5=6{,}5$ — верно. Если $a\lt 0$ , то $a+6=-3a+5$ , откуда $4a=-1$ и $a=-\dfrac14$ ; проверим: слева $-\dfrac14+6=5{,}75$ , справа $3\cdot\dfrac14+5=5{,}75$ — верно, и при этом $a\gt -6$ , то есть значение допустимо.

При остальных $a\gt -6$ значения $t$ различны и оба положительны, поэтому корней по $x$ будет два — не подходит.

Ответ

$(-\infty;-6]\cup\left\{-\dfrac{1}{4}\right\}\cup\left\{\dfrac{1}{2}\right\}$