Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00028751

В уравнении стоит модуль, а модуль раскрывают по определению: если число неотрицательно, модуль его не меняет, если отрицательно — меняет знак. Поэтому разберём два случая: $x\geqslant 0$ и $x\lt 0$. В каждом из них модуль исчезнет, и останется обычное уравнение, которое разложится на множители.

Случай $x\geqslant 0$. Здесь $|x|=x$, и уравнение принимает вид $a^{2}+ax-2x^{2}-6a-3x+9x=0$, то есть $a^{2}+ax-2x^{2}-6a+6x=0$.

Первые три слагаемых раскладываются как квадратный трёхчлен относительно $a$: $a^{2}+ax-2x^{2}=(a-x)(a+2x)$ (раскройте скобки и убедитесь). Оставшаяся часть $-6a+6x=-6(a-x)$. Выносим общую скобку $(a-x)$:

$$(a-x)(a+2x-6)=0.$$

Произведение равно нулю, когда нулю равен один из множителей. Получаем $x=a$ либо $x=\dfrac{6-a}{2}$. Но мы в случае $x\geqslant 0$, поэтому первый корень существует только при $a\geqslant 0$, а второй — только при $a\leqslant 6$.

Случай $x\lt 0$. Здесь $|x|=-x$, и уравнение становится $a^{2}+ax-2x^{2}-6a-3x-9x=0$, то есть $a^{2}+ax-2x^{2}-6a-12x=0$.

Снова используем разложение $a^{2}+ax-2x^{2}=(a-x)(a+2x)$, а остаток $-6a-12x=-6(a+2x)$. Выносим общую скобку $(a+2x)$:

$$(a+2x)(a-x-6)=0.$$

Отсюда $x=-\dfrac{a}{2}$ либо $x=a-6$. Условие $x\lt 0$ строгое, поэтому первый корень существует при $a\gt 0$, а второй — при $a\lt 6$.

Считаем корни. Итого четыре кандидата, и каждый живёт на своём куске значений параметра. Все четыре существуют одновременно только тогда, когда выполняются сразу все условия $a\geqslant 0$, $a\leqslant 6$, $a\gt 0$, $a\lt 6$, то есть при $0\lt a\lt 6$. Значит, при $a\leqslant 0$ и при $a\geqslant 6$ кандидатов заведомо меньше четырёх, и условие задачи выполнено.

Например, при $a=0$ корнями будут $x=0$, $x=3$ и $x=-6$ — всего три. А при $a=6$ получим $x=6$, $x=0$ и $x=-3$ — тоже три.

Осталось разобраться внутри промежутка $0\lt a\lt 6$: там четыре кандидата, но некоторые могут совпасть. Два из них положительны ($x=a$ и $x=\dfrac{6-a}{2}$), два отрицательны ($x=-\dfrac{a}{2}$ и $x=a-6$), поэтому «через ноль» совпадений быть не может — сравниваем только внутри пар.

Положительные совпадут, если $a=\dfrac{6-a}{2}$, то есть $2a=6-a$, откуда $3a=6$ и $a=2$.

Отрицательные совпадут, если $-\dfrac{a}{2}=a-6$, то есть $-a=2a-12$, откуда $3a=12$ и $a=4$.

Проверим себя на $a=2$: корни $x=2$, $x=2$, $x=-1$, $x=-4$ — различных всего три, значит условие «меньше четырёх» выполнено.

Собираем ответ. Подходят все $a\leqslant 0$, все $a\geqslant 6$ и, дополнительно, две отдельные точки внутри промежутка — $a=2$ и $a=4$. Записываем это объединением: $(-\infty;0]\cup\{2\}\cup\{4\}\cup[6;+\infty)$.