Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение a в квадрате плюс ax минус 2x в квадрате минус 6a минус 3x плюс 9 модуль x модуль равно 0 имеет меньше четырёх различных корней.

a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность; 0 правая квадратная скобка объединение {2} объединение {4} объединение левая квадратная скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка

Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение a в…

№2. Задание 18

ID: 00028751

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $a^{2}+ax-2x^{2}-6a-3x+9|x|=0$ имеет меньше четырёх различных корней.

Источник: ФИПИ

Решение

В уравнении стоит модуль, а модуль раскрывают по определению: если число неотрицательно, модуль его не меняет, если отрицательно — меняет знак. Поэтому разберём два случая: $x\geqslant 0$ и $x\lt 0$ . В каждом из них модуль исчезнет, и останется обычное уравнение, которое разложится на множители.

Случай $x\geqslant 0$ . Здесь $|x|=x$ , и уравнение принимает вид $a^{2}+ax-2x^{2}-6a-3x+9x=0$ , то есть $a^{2}+ax-2x^{2}-6a+6x=0$ .

Первые три слагаемых раскладываются как квадратный трёхчлен относительно $a$ : $a^{2}+ax-2x^{2}=(a-x)(a+2x)$ (раскройте скобки и убедитесь). Оставшаяся часть $-6a+6x=-6(a-x)$ . Выносим общую скобку $(a-x)$ :

$(a-x)(a+2x-6)=0.$

Произведение равно нулю, когда нулю равен один из множителей. Получаем $x=a$ либо $x=\dfrac{6-a}{2}$ . Но мы в случае $x\geqslant 0$ , поэтому первый корень существует только при $a\geqslant 0$ , а второй — только при $a\leqslant 6$ .

Случай $x\lt 0$ . Здесь $|x|=-x$ , и уравнение становится $a^{2}+ax-2x^{2}-6a-3x-9x=0$ , то есть $a^{2}+ax-2x^{2}-6a-12x=0$ .

Снова используем разложение $a^{2}+ax-2x^{2}=(a-x)(a+2x)$ , а остаток $-6a-12x=-6(a+2x)$ . Выносим общую скобку $(a+2x)$ :

$(a+2x)(a-x-6)=0.$

Отсюда $x=-\dfrac{a}{2}$ либо $x=a-6$ . Условие $x\lt 0$ строгое, поэтому первый корень существует при $a\gt 0$ , а второй — при $a\lt 6$ .

Считаем корни. Итого четыре кандидата, и каждый живёт на своём куске значений параметра. Все четыре существуют одновременно только тогда, когда выполняются сразу все условия $a\geqslant 0$ , $a\leqslant 6$ , $a\gt 0$ , $a\lt 6$ , то есть при $0\lt a\lt 6$ . Значит, при $a\leqslant 0$ и при $a\geqslant 6$ кандидатов заведомо меньше четырёх, и условие задачи выполнено.

Например, при $a=0$ корнями будут $x=0$ , $x=3$ и $x=-6$ — всего три. А при $a=6$ получим $x=6$ , $x=0$ и $x=-3$ — тоже три.

Осталось разобраться внутри промежутка $0\lt a\lt 6$ : там четыре кандидата, но некоторые могут совпасть. Два из них положительны ( $x=a$ и $x=\dfrac{6-a}{2}$ ), два отрицательны ( $x=-\dfrac{a}{2}$ и $x=a-6$ ), поэтому «через ноль» совпадений быть не может — сравниваем только внутри пар.

Положительные совпадут, если $a=\dfrac{6-a}{2}$ , то есть $2a=6-a$ , откуда $3a=6$ и $a=2$ .

Отрицательные совпадут, если $-\dfrac{a}{2}=a-6$ , то есть $-a=2a-12$ , откуда $3a=12$ и $a=4$ .

Проверим себя на $a=2$ : корни $x=2$ , $x=2$ , $x=-1$ , $x=-4$ — различных всего три, значит условие «меньше четырёх» выполнено.

Собираем ответ. Подходят все $a\leqslant 0$ , все $a\geqslant 6$ и, дополнительно, две отдельные точки внутри промежутка — $a=2$ и $a=4$ . Записываем это объединением: $(-\infty;0]\cup\{2\}\cup\{4\}\cup[6;+\infty)$ .

Ответ

$a\in(-\infty;0]\cup\{2\}\cup\{4\}\cup[6;+\infty)$