Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00041800

Пункт а. Слева косинус разности и синус «приводимого» угла, справа число. Раскроем оба слагаемых — и посмотрим, что останется.

Косинус разности: $\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos x\cos\dfrac{\pi}{4}+\sin x\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x$. Умножая на $4$, получаем

$$4\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=2\sqrt{2}\cos x+2\sqrt{2}\sin x.$$

Формула приведения: при угле $\dfrac{3\pi}{2}$ синус меняется на косинус; угол $\dfrac{3\pi}{2}-x$ при маленьком положительном $x$ в третьей четверти, синус там отрицателен. Значит $\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x$, и второе слагаемое равно $-2\sqrt{2}\cos x$.

Складываем: слагаемые $2\sqrt{2}\cos x$ и $-2\sqrt{2}\cos x$ взаимно уничтожаются, остаётся

$$2\sqrt{2}\sin x=\sqrt{6},\qquad \sin x=\dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$$

Синус равен $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ в точках $\dfrac{\pi}{3}$ и $\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$:

$$x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Пункт б. Отбор корней. Отрезок $\left[4\pi;\dfrac{11\pi}{2}\right]$ — от $4\pi$ до $5{,}5\pi$. Точка $4\pi$ на окружности совпадает с нулём, а $\dfrac{11\pi}{2}$ — с точкой $\dfrac{3\pi}{2}$: отрезок — это три четверти оборота, начиная с точки $4\pi$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$: при $n=2$ получаем $\dfrac{\pi}{3}+4\pi=\dfrac{13\pi}{3}\approx 4{,}33\pi$ — внутри; при $n=3$ уже $\approx 6{,}33\pi$, при $n=1$ — $\approx 2{,}33\pi$, мимо.

Серия $x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$: при $n=2$ получаем $\dfrac{2\pi}{3}+4\pi=\dfrac{14\pi}{3}\approx 4{,}67\pi$ — внутри; соседние $n$ дают $\approx 2{,}67\pi$ и $\approx 6{,}67\pi$ — вне отрезка.

Проверим себя на $x=\dfrac{14\pi}{3}$ (то же, что $\dfrac{2\pi}{3}$). Тогда $x-\dfrac{\pi}{4}$ соответствует углу $\dfrac{5\pi}{12}$, и $4\cos\dfrac{5\pi}{12}=4\cdot\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$; второе слагаемое $-2\sqrt{2}\cos\dfrac{2\pi}{3}=\sqrt{2}$. Сумма $\sqrt{6}$ — верно.